Le castor fait 4 pirouettes pendant le trajet de la pièce de cinq sous.
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L'observation cruciale est qu'à chaque degré parcouru par la pièce de cinq sous au long d'une pièce fixe, le castor pivote de deux degrés! Vous pouvez vous en convaincre par vous-même en plaçant deux cinq sous côte à côte, et en faisant rouler le cinq sous de droite un quart de tour autour du cinq sous de gauche. En partant avec le castor à l'endroit, vous terminez avec le castor à l'envers. Après un demi tour, le castor serait donc de nouveau à l'endroit, ayant fait une pirouette complète. Le castor fait donc deux tours complets sur lui-même pendant que la pièce de cinq sous fait un tour autour de l'autre. |
On donne une discussion plus compl\`ete de cette propriété des cercles roulants dans Rolling Circles,, en réponse à une question soumise à notre rubrique ''Questions''. Un traitement mathéatique élémentaire de cette question est donné dans J.Eidswick, Two trisectrices for the price of one rolling coin, The College Mathematics Journal, 24:5 (November 1993), pages 422-430.
Voici la solution de Jack Yeh:
La pièce qui roule peut seulement toucher 1/3 du périmetre de chaque cinq sous extérieur. (Cette observation est basée sur la symétrie de la figure). Par conséquent, le castor fait 2/3 d'une pirouette le long de la première pièce. Il y a 6 cinq sous extérieurs. Donc en tout le castor fera 6*2/3 = 4 pirouettes.
Ce problème est tiré des Problem of the week (POW) de Stan Wagon. les anciens problèmes de cette série se trouvent au site internet de Math Forum:
http://forum.swarthmore.edu/wagon/
Vous pouvez vous abonner à la liste courriel de POW en écrivant à l'adresse
majordomo@forum.swarthmore.edu
avec seulement les mots "subscribe macpow" dans le corps du message.
On trouve aussi la solution de notre problème dans le livre J.Konhauser, D.Velleman, S.Wagon, Which Way Did The Bicycle Go? publié par Math Association of America; il contient 191 problèmes et solutions tirés de Problems of the week de 1968 à 1995.
Plusieurs solutions correctes nous ont été soumises, mais seulement Jack Yeh et David Xiao ont donné des explications satisfaisantes. Souvenez-vous que dans la solution d'un problème mathématique, l'explication est très importante: Toute assertion doit être justifiée par une vérité mathématique.