Toutes les solutions soumises font usage des deux mêmes étapes de base, bien que chacune aie sa saveur particulière. La solution que voici illustre les différentes approches au problème, et combine les travaux de

Jeff Eggen (Regina)
Normand Laliberté (Ontario)
Leti Gimeno (Espagne)
Juan Mir Pieras (Espagne)
Alexander Potapenko (Russie)

Étape 1: Calcul de la hauteur de A à BC.

(a) Première approche

Il est possible déviter tout calcul en reconnaissant un vieil ami en le triangle 13-14-15: Ce triangle est obtenu en placant côte à côte les deux triangles rectangles de cotés 5-12-13 et 9-12-15, le long du coté commun de longueur 12. Cette longueur de 12 est par conséquent la hauteur recherchée. (Gimeno fait remarquer que la loi du cosinus implique , d'òu on tire facilement la hauteur de 12.)

On applique la formule de Heron pour d\'eterminer l'aire du triangle. Le semi-p\'erim\`etre est s = (13 + 14 + 15)/2 = 21. Donc

.
D'autre part puisque la base BC est 14, la hauteur correspondante doit être 84/7 = 12.

On utilise le théorème de Pythagore, notant H la projection de A sur BC, de sorte la hauteur est AH:

;
donc BH = 5 et AH = 12. Notez que cette approche justifie algébriquement l'observation faite en (a).

Étape 2: Calcul du côté du carré en se servant de la similarité entre ADG et ABC.

(Cette similarité découle du fait que leurs cotés sont parallèles.)

(a) Première approche (Eggen, Potapenko, Laliberté)

et

.

Ces rapports étant égaux, on a  ^12-x/_x = ¹²/₁₄. ce qui donne x = ⁸⁴/₁₃. En fait, Eggen et Laliberté trigonométrie, ce qui mène à un calcul similaire.

On considére une suite infinie de triangles, chacun avec un carr´ inscrit. Le triangle ABC avec son carré DEFG de côté x sont réduits par un facteur k, résultant en le triangle ADG et son carré de côté kx, qui sont à leur tour réduits par un facteur de k, et ainsi de suite. Cette suite de carrés recouvre entièrement la hauteur du triangle; on a donc

   12
= x + kx + k²x + ...
= x(1 + k + k² + ...)
= ^x/_{1 - k}
Par suite, on note que la reduction originale applique le côté BC du triangle, de longueur 14, sur le côté DG du carré, de longueur x. Ainsi, 14k = x et k = x/14, d'où
ce qui donne encore une fois x = ⁸⁴/₁₃.