Normand Laliberté (Ontario) et Juan Mir Pieras (Espagne) ont recours à des arguments semblables pour démontrer que

Pour N=0, le mot initial a longueur 3⁰ + 1 = 2 lettres, et l'assertion est vraie par définition. Il est pratique de remplacer les lettres A, B, C par les entiers modulo 3. Selon l'arithmétique modulaire, la règle devient alors

Observons comment ce processus opère dans le cas du mot x₀x₁x₂x₃ de quatre lettres:

Ainsi, le nombre -(x₀ + x₃) au bas du triangle ne dépend que des deux nombres x₀, x₃ des coins du haut du triangle. Tel que noté plus haut, x₀, x₃ et -(x₀ + x₃) sont soit tous identiques, soit tous différents.

Pour adapter ce calcul à notre démonstration par induction, il suffit de remarquer que le triangle de hauteur 3¹ + 1 = 4 se décompose en 6 triangles emboîtés de hauteur 3⁰ + 1 = 2. On généralise cette décomposition au triangle de hauteur 3^K+1 + 1, qu'on divise en six triangles emboîtés de hauteur 3^K + 1.

Il reste à démontrer que pour toute autre hauteur de triangle, la même conclusion n'est pas valide. Pour ce faire, le plus simple est de se référer à la figure précédente et de donner une suite de contre-exemples pour toutes les hauteurs intermédiaires entre 3^K + 1 et 3^K+1 + 1.

Il reste à démontrer que pour toute autre hauteur de triangle, la même conclusion n'est pas valide. Pour ce faire, le plus simple est de se référer à la figure précédente et de donner une suite de contre-exemples pour toutes les hauteurs interm\'ediaires entre 3^K + 1 et 3^K+1 + 1.

Puisque le mot ABA de trois lettres donne C au bas du triangle. La figure précedente montre que tout mot de 2.3^K + 1 lettres dont la première est A, celle du millieu est B et la dernière est A donne C au bas du triangle. En particulier ceci démontre que l'énoncé (*) est faux pour les triangles de hauteur 2.3^K + 1.

Considérons un triangle de hauteur 3^K + 2, au haut duquel est placé un mot commençant par AA et se terminant par CA. Alors la ligne suivante est un mot de 3^n-1 + 1 lettres commençant par A et se terminant par B, et par conséquent la lettre C est au bas du triangle. Ceci démontre que l'énoncé (*) est faux pour les triangles de hauteur 3^K + 2.

De même, dans un triangle de hauteur 3^K + 3 au haut duquel est placé un mot commençant par AAA et se terminant par BAA la deuxième ligne est un mot de 3^K + 2 lettres commençant par AA et se terminant par CA, et par conséquent la lettre C est au bas du triangle. Ceci démontre que l'énoncé (*) est faux pour les triangles de hauteur 3^K + 3.

Continuant ainsi, on se rend compte que pour toute hauteur de triangle allant de 3^K + 2 à 2.3^K, il est possible de placer au haut un mot dont la première et la dernière lettre est A, de telle sorte que la lettre C apparaisse au bas du triangle. Ceci démontre que l'énoncé (*) est faux pour toutes ces hauteurs.

Par suite, il est possible de traiter les triangles de hauteur 2.3^K +  à 3^K+1 de la même façon que les triangles de hauteur 3^K + 2 à 2.3^K. Dans tous les cas on se rend compte que les deux lettres des coins du haut peuvent être identiques et différer de la lettre du bas. En faisant pivoter le triangle de 120 degrés, on remarque aussi que la lettre du bas peut coïncider avec une des lettres des coins du haut sans que les trois lettres des coins ne soient identiques.

On donne maintenant la solution de Juan Mir Pieras à cette partie du problème. Il a redécouvert par lui-même un théorème de Kummer (1852) avec quelques conséquences remarquables. Kummer s'intéressait à la plus grande puissance p^h d'un nombre premier qui divise un coefficient binomial . Pour déterminer ce h maximal, on écrit k et n-k en base p. Le théorème de Kummer dit alors que h est le nombre de retenues lorsqu'on effectue l'opération k + (n-k) en base p. Ce qui suit est une version plus courte de l'approche de Mir, comprenant sa démonstration du théorème de Kummer pour p = 3. On commence avec une reformulation du problème en terme d'arithmétique modulaire en base 3:

1.	Quand le mot initial est (x0, x1, x2,..., xn), le mot au bas du triangle est

2.	Le résultat est congru à - (x0 + xn) (mod 3) is et seulement si n est impair et 3 divise pour k = 1, 2,..., n-1.

3.	F(n) = (# de multiples de 3 <= n) + (# de multiples de 9 <= n) + ... En notation en base 3, Alors Par conséquent, la formule (3) devient , ou (aprés un changement d'indices) Donc,

4.	Pour étudier la divisibilité de on écrit les nombres n, k, n-k en notation ternaire:

5.	Le nombre de fois que 3 divise est F(n) - F(k) - F(n-k); Selon l'étape (4), ce nombre vaut Soit, après simplification, Nous pouvons maintenant démontrer le théorème de Kummer dans le cas p=3.

6.

Théorème. La plus haute puissance de 3 qui divise est le nombre de retenues dans l'addition ternaire k + (n-k). En particulier, on démontre que la dernière somme dans l'étape (5) est le nombre de retenues: Posons em = 1 si il y a une retenue de la m-ième place, et em = 0 autrement (Aussi, e-1 = 0). Alors am + 3em = bm + cm + em-1. Donc la plus grande puissance de 3 qui divise est soit le nombre de retenues.

Nous sommes enfin en position de retourner au problème initial et démontrer la propriété désirée du triangle de Pascal modulo 3.

7.

Théorème si et seulement si n est une puissance de 3. Démonstration. Le théorème de l'étape (6) nous dit que 3 divise si et seulement il existe un m tel que bm > am. En effet, il y a une première retenue em = 1 lorsque bm > am, alors que em = 0 pour tout m lorsque bm <= am pour tout m. Donc si n = 3N, alors tous ses chiffres ternaires am sont 0 sauf aN qui est 1, et bm > am pour certaines valeurs de m (en particulier lorsque bm est le chiffre le plus a gauche de l'expansion ternaire de k). Ainsi, 3 divise pour toute valeur de k. Réciproquement, Si n = 3N + R où R < 2.3N et k = 3N, alors bm&nbap;<= am pour tout m, donc n'est pas un multiple de 3.

Selon l'étape 2, ce théoreme complète notre solution.

Commentaires et notes.
Les théorèmes des étapes (6) et (7) ont été démontrés dans plusieurs contextes. La meilleure référence au sujet des résultats de l'histoire de la théorie des nombres est Dickson [2]. On y retrouve le résultat de Kummer, mais apparemment Kummer n'a pas interprété comme le nombre de retenues. David Singmaster donne l'histoire complète avec plusieurs références et informations générales. En particulier, la démonstration des résultats en (5) et (6) ressemble beaucoup a celle de Mir présentée ici, et on voit que l'argument de Mir est valable pour tous les nombres premiers, pas seulement 3.On peut trouver une démonstrastion en francais en [3], et en espagnol en [4]. On peut aussi démontrer le théorème en (6) directement, sans utiliser (5). Un argument direct est donné en [1], mais le lecteur intéressé peut démontrer (6) par induction, seulement en transcrivant les premières lignes du triangle de Pascal en notation ternaire et en notant le motif des zéros.