On présente deux solutions; la première est basée sur la réponse de Juan Mir Pieras (Espagne). Sa solution complète est donnée sur notre page espagnole.

Ripley se trompe - il n'y a pas de nombres persistants du tout! En fait, tout entier n divise un nombre dont tous les chiffres sont des neufs et des z&eacyte;ros (de la forme 99...900...0). C'est une conséquence du fait que la fraction f = 1/n se convertit en une décimale périodique

Pour retrouver la forme fractionnaire, on soustrait 10^k f de 10^k+p f pour obtenir un nombre entier

Remarques sur N = 526315789473684210
En fait, il est facile de vérifier directement que N n'est pas un nombre persistent; il suffit de le multiplier par 19:

Solution Alternative
Pour tout nombre n, considérons la suite de restes obtenus un divisant successivement par n les nombres 1, 11, 111, ... , 111...1, Puisqu'il y a seulement un nombre fini de restes possibles (de 0 à n-1), il existe deux de ces nombres R = 111...1 (r uns) et S = 111...1 (s uns), s > r, qui donnent le même reste lorsque divisé par n. Donc n est un multiple de S - R = 11...00...0 (s-r uns et r zéros) et par conséquent n n'est pas persistant.

Notes:
Mir s'est aussi posé la question de l'existence de nombre irrationnels persistants. Un nombre irrationnel x est dit persistant si pour tout entier naturel n, l'expansion décimale de nx contient tous les chiffres de zéro à neuf. (Cette définition s'adapte également aux bases autre que dix.) Une des conséquences de la théorie de la mesure est que "la pluspart" des nombres irrationnels sont persistants dans toutes les bases. Un tel nombre irrationnel persistant est construit par un processus aléatoire: chacune de ses décimales est déterminée par le lancer d'un dé a dix faces. Par contre, on ne sait toujours pas si des nombres irrationnels bien connus comme e, pi ou sont persistants.