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Solution au problème d'avril 2001
Solution au problème d'avril 2001.
Nous avons reçu la solution suivante de Juan Mir Pieras (Espagne):
Soit n, un entier supérieur à 4. Alors tout polygone convexe
à n côtés dont les sommets ont des coordonnées entières
contient un autre point à coordonnées entières à l'intérieur
ou sur la frontière.
Démonstration:
On peut regrouper les points à coordonnées entières
en quatre catégories:
- (pair, pair)
- (pair, impair)
- (impair, pair)
- (impair, impair)
Soit P, un polygone convexe à n côtés dont les sommets ont des
coordonnées entières. Si n > 4, P doit avoir deux sommets dans
la même catégorie. Appelons les A = (a1,a2) et B = (b1,b2),
et examinons le point M = ( (a1+b1)/2, (a2+b2)/2 ):
- Ses deux coordonnées sont entières, puisque a1+b1 et a2+b2 sont des
nombres pairs,
- C'est aussi le centre du segment AB, et AB est soit un côté de P
(donc M est sur la frontière de P), ou une diagonale de P (donc
M est à l'intérieur de P puisque P est convexe).
Ainsi tout polygone convexe à n côtés dont les sommets ont des
coordonnées entières contient un autre point à coordonnées
entières à l'intérieur ou sur la frontière. (CQFD)
Problèmes et solutions précédents
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