Solution au problème d'septembre 2005

Notre premier problème de l'année porte sur les nombres. En guise de réchauffement, vous pouvez commencer par démontrer que pour tout nombre n impair, (4n + 1) est un multiple de 5. Notre question est la suivante:

Démontrez que pour tout entier n impair et supérieur à 3, est un nombre composé.

Nous avons reçu des solutions correctes (sauf pour quelques erreurs de détail dues aux excès de l'été) de

Said Amghibech (Québec)

Pierre Bornsztein (France)

John Campbell (Edmonton)v

Xavier Hecquet (France)

Wolfgang Kais (Allemagne)

Patrick LoPresti (États-Unis)

Juan Mir Pieras (Espagne)

 

Démonstration du fait que 4n + 1 est un multiple de 5 lorsque n est impair.

Il suffit de démontrer que 4n + 1 est congru à 0 modulo 5:

Lorsque n = 2k+1,

4nn (–1)n = (–1)2k+1 = –1 (mod 5), donc 4n +1 0 (mod 5),

tel que souhaité.

On peut aussi noter que les puissances impaires de 4 se terminent toujours par 4 (41 = 4, 43 = 64, 45 = 1024, etc.). Par suite, 42k+1 + 1 se termine par 5 et donc est divisible par 5.

Une autre approche signalée par Mir et Hecquet utilise la série géometrique de raison r = -4:

S = 1 + (-4) + (-4)2 + ... + (-4)2k = ; donc 42k+1 + 1 = 5S et ainsi 5 divise 4·2k+1 + 1.

Hecquet note qu'il y a bien d'autres preuves.

Démonstration du fait que pour n impair et supérieur a 3, (4n + 1)/5 est un nombre composé.

Hecquet note d'abord que si n est lui-même composé, n = ab, alors

4n + 1 = 4ab + 1 = (4a + 1)(4b - 4b-1 + 4b-2 + ... + 1),

où 4a + 1 est un multiple de 5 supérieur à 5 (selon la démonstration précédente), donc

(4n + 1)/5 = 4ab + 1 = [(4a + 1)/5](4b - 4b-1 + 4b-2 + ... + 1).

Par contre, cet argument n'est pas valide lorsque n est premier. La démonstration générale de Hecquet, comme toutes les autres, utilise la factorisation de 4a4 + b4:

4a4 + b4 = (2a2 + 2ab + b2)(2a2 - 2ab + b2).

Nous nous sommes servi de cette factorisation dans la solution du problème d'avril 2004. Lorsqu'on l'applique à 4n + 1 (en notant n = 2k+1 où k > 1), on obtient

4n + 1 = 42k+1 + 1 = 4·42k + 1 = 4·24k + 1 = (2·22k + 2·2k + 1)(2·22k - 2·2k+ 1).

Mais 2·22k +2·2k + 1 > 2·22k - 2·2k+ 1, et le plus petit facteur est supérieur à 5, puisque

2·22k - 2·2k + 1 = 2k+1(2k - 1) + 1 > 22(21 - 1) + 1 = 5.

Ainsi 4n + 1, se décompose en un produit de deux facteurs supérieurs à 5. Puisque 4n + 1 est lui-même divisible par 5, un de ces facteurs est un multiple de 5, et la division de ce facteur par 5 donne une décomposition de(4n + 1)/5 en un produit de deux facteurs supérieurs à 1. Donc (4n + 1)/5 est composé.

 

Problèmes et solutions précédents

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