Le professeur Adam entre en classe et écrit au tableau noir un polynôme f(x) à coefficients entiers. Il dit ensuite "C'est aujourd'hui l'anniversaire de mon fils, et lorsqu'on évalue f à son âge A, on a f(A) = A. Notez aussi que f(0) = p, où p est un nombre premier supérieur à A." Quel âge a le fils du professeur Adam?

Ce problème est tiré d'un bulletin mathématique des écoles secondaires de l'Ontario des années soixante.

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Solution.

On peut écrire le polynôme comme

f(x) = a_nxⁿ + ··· + a₁x + a₀

où les coefficients a_i sont tous des nombres entiers. Comme f(0) = p, on doit avoir a₀ = p; et comme f(A) = A, notre polynôme doit satisfaire

f(A) = a_nAⁿ + ··· + a₁A + p  = A.

Parce-que A représente l’âge du fils, il doit être un nombre entier positif.  De la dernière équation ci-dessus on déduit que A divise p (parce-qu’il divise tous les autres termes).  Mais p est un nombre premier plus grand que A.  Le seul nombre positif strictement inférieur à p et qui le divise est 1.  On conclut que A = 1 — donc l’enfant a un an.  Bon anniversaire!

            Rémarquons que  f(x) peut être un polynôme quelconque dont le terme constant est un nombre premier p, et tous les coefficients sont des nombres entiers ayant la somme égale à 1.  Un exemple simple de Mark Pilloff: f(x) = 3 – 2x.

Problèmes et solutions précédents