Solution. Nous donnons ici la solution rapide de Joseph Najnudel.

D'après la formule du binôme :

et

En soustrayant et en divisant par 2 :

Donc le pgcd de   divise 2²⁰⁰⁵; c'est donc une puissance de 2. De plus, il divise   donc il vaut 1 ou 2.

Par ailleurs, pour tout j entre 1 et 1003, on vérifie que

or le membre de droite est pair et 2j-1 est impair, donc   est toujours pair.

En conclusion le pgcd cherché est 2.

Commentaires.  L'identité   utilisée dans la dernière étape de cette argumentation se vérifie soit directement comme suit

ou par un argument combinatoire: Dans un groupe de m personnes, on peut former un comité de n personnes avec un chef soit en choisissant d'abord les n personnes et en choisissant un chef parmi eux, ou bien en choisissant d'abord un chef, puis en choisissant ses n-1 sous-fifres parmi les m-1 personnes restantes.

Certains de nos correspondants se sont passé de la première partie de notre argument en utilisant le fait que  = 2006 = 2·17·59. Il suffisait alors de vérifier que  n'est pas divisible par 17, et que  n'est pas divisible par 59. Par contre, notre argumentation permet de démontrer plus généralement que

Si q est impair, le plus grand commun diviseur de  est 2^h.

Merci à Campo, Gupta et Mir pour cette observation. Matthew Lim quant à lui, donne la généralisation suivante:

Si p est premier et m est relativement premier a p, alors p^h est le plus grand commun diviseur des entiers de la forme  ou 1 ≤ k < p^hm et k est relativement premier à p.

Il a dû remplacer la première partie de notre argument par une démonstration du fait que si d est un diviseur premier de m et q^b est la plus grande puissance de q qui divise m, alors q ne divise pas . Les détails ne sont par si difficiles, surtout si on connaît un théorème pertinent de Kummer, dont on a discuté dans la solution de notre problème de juin 2001.