Deux joueurs A et B choisissent à tour de rôle un des 9 coefficients a_i du polynôme

  x¹⁰ + a₉ x⁹ + a₈ x⁸ + a₇ x⁷ + a₆ x⁶ + a₅ x⁵ + a₄ x⁴ + a₃ x³ + a₂ x² + a₁ x + 1

et le remplacent par un réel de leur choix. Le jeu se termine après 9 coups, lorsque les valeurs de tous les a_i sont connues. Le premier joueur A gagne si le polynôme obtenu n'a aucune racine réelle. Le second joueur B gagne si le polynôme a au moins une racine réelle. L'un des deux joueurs peut s'arranger pour être toujours gagnant, quoi que fasse son adversaire. De quel joueur s'agit-il? 

            Nous avons reçu des solutions correctes de
 

Solution.

Nos trois correspondants ont présentés des solutions similaires. Nous reproduisons ici la solution de Pierre Bornsztein. 

Stratégie de Bornsztein pour le joueur B.

On note P(x) le polynôme donné. Parmi les 9 coefficients à  choisir, il y en a 5 correspondant à  des monômes de degrés impairs et 4 à  des monômes de degrés pairs.

- Si le premier choix de A correspond à  un coefficient de monôme de degré impair, alors B choisit un coefficient de monôme de degré pair et lui attribue n'importe quelle valeur. 
Si le premier choix de A correspond à  un coefficient de monôme de degré pair, alors B choisit un coefficient de monôme de degré impair et lui attribue n'importe quelle valeur.

- Le joueur B procède de même pour ses deuxième et troisième choix.

- Il ne reste donc plus, en tout, que trois coefficients à  choisir, dont au moins deux correspondent à  des monômes de degrés impairs. Et A choisit. Il reste donc deux coefficients, disons a_p et a_q, avec p impair mais pas forcément q.
On pose P(x) = Q(x) + a_px^p + a_qx^q, où Q(x) est la partie de P(x) déjà  déterminée par les choix faits.

- Si q est pair :
Alors P(1) + P(-1) = Q(1) + Q(-1) + 2a_q. Par suite, si B choisit a_q = -(Q(1) + Q(-1) )/2, il est assuré que, quel que soit le choix de A pour a_q, d'avoir P(1) + P(-1) = 0.  Ainsi, soit P(-1) et P(1) sont tous les deux nuls, auquel cas B a clairement gagné. Soit P(-1) et P(1) sont de signes contraires. Or, comme P est évidemment continu sur |R, le théorème des valeurs intermédiaires permet alors d'affirmer que P a au moins une racine réelle, et donc que B gagne.

- Si q est impair aussi : 
Alors 2^qP(-1) + P(2) = 2^qQ(-1) + Q(2) + (2^p - 2^q)a_p et donc, en choissisant cette fois a_p = [2^qQ(-1) + Q(2) ]/[2^q - 2^p] , le joueur B assure donc que 2^qP(-1) + P(2) = 0.  Comme ci-dessus, c'est alors que P(-1) et P(2) sont tous les deux nuls, ou qu'ils sont de signes contraires. Dans les deux cas, B gagne.

Finalement, dans tous les cas, selon cette procédure, le joueur B est sûr de gagner.

Autres commentaires 

Nous avons aussi reçu des contributions intéressantes de quelques autres correspondants. Nikhil V. Nair d'Inde considère une version du jeu où les joueurs doivent déterminer les coefficients a₁, ..., a₉ dans l'ordre, et démontre que le joueur B gagne aussi dans ce cas. Philippe Fondanaiche de France donne aussi une stratégie gagnante pour B, en postulant que le joueur A choisit prioritairement les coefficients pairs a₂, a₄, a₆ et a₈ pour leur donner des valeurs positives. Xavier Hecquet de France, pour sa part, démontre que le joueur B doit au moins se forcer un peu. Il propose une ébauche de stratégie prometteuse pour le joueur A, en décomposant le polynôme en plusieurs polynômes qu'il essaie de rendre tous positifs ou nuls en contrôlant certains paramètres.
 

Problèmes et solutions précédents

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