Diane Hanson, Saskatchewan Education (O.M.L.O.)

(Une version plus détaillée de cette unité, contenant des idées et activités supplémentaires, des fiches de travail, des fiches d'évaluation, un article de revue et une bibliographie se trouvent dans les unités modèles accompagnant le programme d'études de mathématiques pour le niveau intermédiaire, à paraître en juin 1996.)

L'intégration

L'intégration est un terme qui apparaît de plus en plus dans la littérature pédagogique professionnelle. Sous sa forme la plus simple, l'intégration veut dire faire des connexions ou des liens.

En faisant un enseignement intégré il y aura les avantages suivants:

• l'intégration aide les élèves à faire des connexions puisque les liens entre divers concepts, habiletés et attitudes sont établis;
• puisque les élèves font des connexions, le transfert de l'apprentissage à de nouvelles situations est plus à même de se faire;
• l'intégration favorise une compréhension profonde de concepts, les idées liées permettant aux élèves de revoir, de tester des hypothèses et d'assimiler des concepts d'une façon plus efficace;
• l'intégration permet aussi aux élèves de voir la vue d'ensemble puisque les situations d'apprentissage se situent dans un contexte plus large;
• les élèves peuvent ensuite faire les liens entre les situations d'apprentissage et les expériences de la vie courante, et l'apprentissage devient ainsi plus pertinent et plus motivant;
• puisque les chevauchements inutiles sont évités, l'intégration gagne du temps (un facteur important pour les classes jumelées et les écoles désignées);
• les enseignants qui planifient des unités intégrées avec leurs collègues bénéficient de l'expertise et des connaissances de ceux-ci.

• l'intégration simple où l'enseignant fait des liens entre 2 ou 3 sujets en mathématiques: le lien entre le système en base de dix et notre système monétaire, par exemple;

• l'intégration d'un sujet de mathématiques et d'une compétence pour la vie: un exemple est le lien entre la résolution de problèmes en mathématiques et le travail coopératif;
• l'intégration à l'intérieur du programme de mathématiques: la résolution de problèmes, la gestion et l'analyse de données, les nombres et opérations, la géométrie et la mesure, le rapport et la proportion, et l'algèbre sont les six volets du programme d'études de mathématiques à l'intermédiaire. L'intention est d'enseigner les six volets de façon intégrée; c'est-à-dire une leçon ou une série de leçons touchant les objectifs spécifiques de plus d'un volet à la fois. Par exemple, la résolution de problèmes est intégrée dans tous les autres volets, on peut aussi se servir de la géométrie pour l'apprentissage des concepts d'aire et de volume;
• dans un autre type d'intégration, l'enseignant planifie l'enseignement de sujets ou d'objectifs semblables dans plusieurs domaines d'étude obligatoires, les enseigne au même moment de l'année, mais dans des périodes de temps différentes: ainsi, on peut enseigner la symétrie en mathématiques, aussi bien qu'en éducation artistique, et la mesure en mathématiques aussi bien qu'en sciences naturelles. On rend les liens explicites pour les élèves;
• à un niveau d'intégration plus complexe, la période de mathématiques et la période d'éducation artistique deviennent simplement une période où la symétrie est enseignée, la période de mathématiques et la période de sciences naturelles deviennent une période où la mesure est enseignée, et la période de mathématiques et la période de sciences humaines deviennent une période où la gestion et l'analyse des données est enseignée;
• l'intégration peut aussi faire les liens entre tous les domaines d'étude obligatoires, par l'emploi d'un thème. L'enseignant se sert d'un schéma conceptuel (aussi nommé une toile d'araignée) pour planifier d'une façon visuelle les liens entre les domaines d'étude. Le thème choisi doit être facile à utiliser dans tous les domaines d'étude. Ce thème peut provenir d'un thème déjà exploité dans un autre domaine d'étude. C'est une forme d'intégration qui jouit d'une popularité croissante auprès des enseignants;
• une autre forme d'intégration emploie un des apprentissages essentiels communs ou un des objectifs d'un AEC comme thème dans tous les domaines d'étude: par exemple, on peut lier tous les domaines d'étude obligatoires avec l'initiation à la technologie comme thème commun;
• l'intégration se fait également à partir des outils de symbolisation, de conceptualisation et d'expression, c'est-à-dire, à partir des langues. C'est le modèle de l'immersion, et le principe de base de la communication et de l'initiation à l'analyse numérique (AEC). Certaines matières s'intéressent à l'étude du réel (sciences naturelles et humaines, hygiène). D'autres sont des langages (français ou anglais, mathématiques et beaux arts). "Le réel ne saurait être symbolisé sans langage et, inversement, le langage ne saurait exister sans contenu à symboliser. Dans cette optique, il devient possible d'enseigner les langages en étroite correspondance avec les aspects du réel qu'ils permettent de symboliser." (Tardif, 1992)

Cette unité s'adresse au niveau de la 7e année, mais peut facilement être modifiée et adaptée pour répondre aux besoins des élèves à d'autres niveaux.

Il existe une grande variété de niveaux et de façons de faire l'intégration. C'est à recommander que l'on expérimente avec plusieurs façons de faire l'intégration.

Résumé de l'unité

À la suite d'une étude des carrelages dans la vie quotidienne, les élèves explorent les carrelages du point de vue des mathématiques et des arts visuels par l'entremise des oeuvres de M.C. Escher.

Méthodes d'enseignement

Les méthodes suivantes utilisées dans cette unité privilégient la compréhension des mathématiques et des arts visuels en langue seconde:

• l'apprentissage coopératif;
• la visualisation guidée;
• la classification;
• la manipulation d'objets;
• la démonstration;
• la résolution de problèmes;
• la cueillette de données;
• la discussion;
• l'enseignement assisté par ordinateur.

• Blocs mosaïque, blocs logiques et/ou blocs de tangram.
• Rapporteurs.
• Oeuvres de M.C. Escher.
• Exemples de dallage tirés de revues, de livres ou de l'environnement: des motifs de planchers, de patios, de papiers tenture, de tissus, de courtepointes, de vitraux, de mosaïques, d'ornementation de différentes cultures, d'oeuvres d'art.

Au cours de cette unité, l'élève sera amenée à comprendre et à utiliser:

• le vocabulaire et les structures reliées aux activités mathématiques: recouvrir une surface, paver le plan, carreler, la mosaïque, le dallage, le carrelage, la tessellation, des formes à deux dimensions, les polygones, les triangles, les quadrilatères, les trapèzes, les rectangles, les carrés, les pentagones, les hexagones, les octogones, congrus, la symétrie par rapport à une ligne, la symétrie par rotation, le glissement, la rotation, le rabattement, les angles;
• le vocabulaire et les structures reliées aux arts visuels: remplissage régulier d'une surface, répétition rythmique d'un motif, art décoratif, ornementation, paradoxe, métamorphose, un monde impossible, dessin par observation.

Présenter aux élèves des exemples de dallages, de carrelages ou de tessellations. Examiner quelques-uns de ces dallages et noter quelles formes sont présentes dans ces dallages.

(Ces exemples peuvent être tirés de revue, de livres ou provenir de son environnement: des motifs de planchers de cuisine ou salle de bain, de patios, de rayon de miel, de papiers tenture, de tissus, de courtepointes, de vitraux, de mosaïques, d'ornementation de différentes cultures, d'oeuvres d'art.)

En examinant les dallages on peut arriver à une définition de dallage, carrelage ou tessellation.

(On définit un carrelage, dallage ou tessellation comme étant le recouvrement d'une surface ou région à l'aide de polygones placés de façon à ne laisser aucun espace ou n'avoir aucune superposition entre les polygones.)

(Une autre façon d'arriver à une définition de dallage est d'utiliser la stratégie d'enseignement de l'acquisition des concepts et de montrer aux élèves des exemples et des non-exemples de dallage. Se référer au livret Ça c'est un oui! L'acquisition des concepts. qui fait partie de la collection intitulée Série stratégies d'enseignement.)

Donner à chaque élève un bloc mosaïque ( l'hexagone jaune, le trapèze rouge, le triangle vert, le carré orange ou le rhombe bleu) et leur demander de recouvrir une surface ou paver le plan (un rectangle mesurant environ 20 cm par 25 cm) de façon à ce que le produit soit une tessellation. L'enseignant peut démontrer en même temps au rétroprojecteur. Démontrer sur acétate que l'on commence en plaçant le bloc au milieu du plan, qu'on le trace, qu'on le place ailleurs et que l'on travaille de cette façon (du milieu vers les côtés) jusqu'à ce que le plan soit couvert (sans espace entre les blocs).

Exploration

Peut-on développer des critères pour déterminer si une forme peut paver le plan ou non?

Activité: Donner aux élèves (qui travaillent en paires ou en groupes) un bon nombre de formes à deux dimensions et leur demander de partager ces formes en 2 groupes d'après les critères suivants:

• les formes qui peuvent paver le plan;
• les formes qui ne peuvent pas paver le plan.

On peut partager ces résultats avec tous les groupes.

On peut garder les critères et les résultats de cette expérience affichés au babillard afin de pouvoir y revenir durant l'unité.

Voici un échantillon des formes que l'on peut utiliser: le cercle, l'ovale, une variété de polygones (triangles, quadrilatères, pentagones, hexagones, octogones, etc.). On devrait aussi offrir des polygones irréguliers. On peut numéroter les formes afin de faciliter la discussion.

C'est un bon moment pour encourager les enseignants à commencer une liste des termes mathématiques et autres, spécifiques à cette unité. Elle peut être affichée et on peut y ajouter tout au long de l'unité. Elle peut servir de référence pour les élèves. Celles-ci pourraient créer un dictionnaire illustré comme activité pour accompagner leurs projets.

Activité: Les élèves choisissent une ou plusieurs formes et pavent le plan (recouvrent la surface).

À l'aide de leur imagination, les élèves dessinent et/ou colorient le motif créé.

Prolongement

Escher utilisait des formes géométriques qu'il transformait pour arriver à d'autres formes intéressantes. Ensuite il dessinait et/ou coloriait son oeuvre.

Montrer aux élèves comment transformer un carré, en utilisant des glissements et des rotations.

Ensuite, elles peuvent recouvrir la surface du plan en s'inspirant de l'oeuvre de M.C. Escher.

Se référer à l'article L'art de la mosaïque pour plus de détails sur la façon de procéder.

Réflexion

Demander aux élèves d'écrire leurs impressions personnelles au sujet des activités de cette unité, le lien qui existe entre les mathématiques et les arts visuels, les intentions de création telles que celle d'éprouver l'enthousiasme de la découverte, de rechercher des possibilités que peuvent offrir la représentation d'une idée, mettre en évidence des contradictions.

Réinvestissement

Présenter un scénario pour toute la classe ou offrir le choix aux élèves parmi les scénarios suivants:

Scénario 1:

Demander aux élèves de faire des transformations à partir de formes autres que le carré, telles que le triangle, l'hexagone, etc.

Dessiner et/ou colorier.

Scénario 2: Utiliser le logiciel Tessellmania pour explorer les différentes transformations et façons de recouvrir une surface.

Scénario 3:

Créer une construction kaléidoscopique. Se procurer trois miroirs carrés d'environ 30 cm. Les coller ensemble pour faire un coin. Couper des formes dessinées dans du bois, du plastique, du carton rigide ou autre matériel. Élaborer une composition sur la surface du miroir. Noter que les dessins se complètent par eux-mêmes de par leur réflexion. Par exemple, un demi-cercle devient un cercle. Coller l'arrangement sur la surface avec une colle appropriée.

Scénario 4:

Faire un projet pour une exposition de mathématiques (Math Fair). On peut planifier d'inviter les parents, les autres salles de classe de l'école.

Différents projets:

• décrire et illustrer comment transformer des formes;
• faire une collection de linoleums, de briques pour patio, de papier tenture, etc. et décrire les formes utilisées et les transformations effectuées;
• faire un résumé chronologique de la vie d'Escher;
• écrire et illustrer un dictionnaire des termes spécifiques à cette unité;
• écrire à propos de ce qu'on a appris durant cette unité;
• faire l'étude d'un autre artiste;
• étudier le concept du paradoxe visuel chez divers artistes, comme par exemple Salvador Dali, André Breton, Max Ernst, René Magritte, Miró, Hans Arp, André Masson. Explorer la fantaisie, le rêve, l'image excentrique, l'illusion d'optique, les perceptions surréalistes par des créations à deux et à trois dimensions (se référer à Les fiches du musée. Pour mieux comprendre les créateurs et les mouvements modernes et contemporains, Musée national d'art moderne, 1992-1993, et des encyclopédies et dictionnaires.

• On peut faire une étude des formes du point de vue du périmètre et de l'aire. Qu'arrive-t-il au périmètre et à l'aire quand on transforme une forme? (Le périmètre change, mais l'aire reste constante.)
• On peut accroître ou réduire le nombre d'activités à l'ordinateur. On peut utiliser les logiciels Tessellmania et EscherSketch.
  • Une activité serait de demander à l'élève de changer une forme à l'ordinateur, de recouvrir la surface, d'imprimer ses résultats et d'expliquer, oralement ou à l'écrit, le genre de transformations qui ont été faites (des glissements, des rotations, des rabattements, des combinaisons de ceux-ci).
  • Pour les élèves qui ont des difficultés de dextérité motrice, l'ordinateur leur permet d'explorer et d'augmenter leurs connaissances des tessellations.
  • Dans une autre activité, on donne à l'élève une forme déjà transformée et on lui demande d'interpréter cette forme de façon créative en utilisant les outils à dessin du logiciel; on peut ajouter des yeux, des bouches, etc.
  • Dans une autre activité, l'élève choisit une oeuvre de Escher, identifie la forme originale et, avec l'aide du logiciel, essaie de la transformer pour reproduire le dessin de l'artiste.
  • On peut demander à l'élève de faire une tessellation appropriée pour un plancher, un t-shirt, du papier d'emballage, etc.
• Explorer les kaléidocycles (formes à trois dimensions qui peuvent tourner). En construire un avec des tétraèdres. Chaque élève doit avoir 8 copies du patron d'un tétraèdre. Demander aux élèves de les dessiner et/ou de les colorier. Les tétraèdres sont ensuite pliés individuellement. Ils sont ensuite collés un après l'autre pour former un cercle. Ce cercle pourra ainsi tourner, les tétraèdres font la rotation.
• Explorer les solides platoniciens. On peut les identifier, les construire. Il existe 5 solides platoniciens: le tétraèdre régulier, l'hexaèdre régulier, l'octaèdre régulier, le dodécaèdre régulier, et l'icosaèdre régulier. Ces solides sont des polyèdres dont toutes les faces sont des polygones réguliers congrus. Ainsi le tétraèdre a 4 faces (triangles congrus); l'hexaèdre a 6 faces (carrés congrus); l'octaèdre a 8 faces (triangles congrus); le dodécaèdre a 12 faces (pentagones congrus); et l'icosaèdre a 20 faces (triangles congrus).
• Trouver une variété de dallages à faire avec des rectangles (proportions 2:1 et/ou 3:1). Parler de ce que ces proportions représentent. Quelles autres proportions peut-on utiliser et demander aux élèves d'offrir des modèles de dallages.
• Qu'arrive-t-il si on travaille avec des pentagones irréguliers? Peut-on faire des dallages, des mosaïques avec ces pentagones irréguliers? Peut-on faire des mosaïques avec n'importe quel pentagone irrégulier?
• Escher a aussi travaillé avec les notions de limites et d'infini. Trouver certaines oeuvres qui ont des limites. Trouver une oeuvre où il traite de l'infini (le ruban de Mobiüs). Pourquoi le ruban de Mobiüs représente-t-il l'infini? Construire un ruban de Mobiüs pour connaître la réponse. Voici comment construire un ruban de Mobiüs: tenir une bande de papier d'environ 35 cm par 2-3 cm par les deux bouts; donner un demi-tour à un des bouts seulement et rattacher ces deux bouts avec du papier gommé. On aura ainsi un cercle avec un demi-tour dedans. Demander aux élèves de trouver un point de départ sur cette bande et d'y mettre la pointe de leur crayon; sans lever le crayon, tracer une ligne au centre de la bande, tout au long de la bande. Qu'arrive-t-il? Le crayon revient à son point de départ après avoir tracé la ligne des deux côtés de la bande. On peut aussi dire que c'est une feuille de papier qui a un côté seulement!
• Trouver des oeuvres de Escher où l'artiste incorpore le deux dimensions et le trois dimensions.
• Quel est le plus petit nombre de couleurs requises pour colorier le plan, sans que deux régions adjacentes aient la même couleur? On peut commencer cette exploration en partageant une surface en 2, 4, 6, etc. parties à l'aide de lignes droites.
• Exprimer un thème fantaisiste par la création d'un dessin symétrique. Créer une version fantaisiste d'un jeu de cartes. Par exemple, choisir le roi, la dame, le valet ou le joker. Utiliser un sujet de votre choix comme dessin de base du portrait (tête et torse). Travailler sur une feuille de 18" par 24". Dessiner le portrait sur une moitié de la feuille. Sur l'autre moitié, tracer le dessin à l'aide de papier calque et le compléter avec de la peinture acrylique ou de la peinture pour affiches.
• Quelles lettres de l'alphabet pourrait-on utiliser pour paver le plan? Peux-tu te servir de ton initiale? de tes deux initiales? Essaie (tu peux faire une distorsion et transformer les lettres un peu).
• Demander aux élèves de s'exercer à dessiner leur main ou leur pied en utilisant la technique du dessin de contour. Ensuite, apporter un objet dans lequel les élèves peuvent se voir, comme un miroir, un ornement de Noël, etc. Chaque élève tient le miroir ou l'ornement d'une main et étudie la main et son reflet. La distorsion devrait être encouragée. Trouve des oeuvres de M.C. Escher où on peut trouver de la distorsion.
• On peut explorer les arts visuels du point de vue de la distorsion et du surréel:
  • Créer un paysage surréel à l'intérieur d'une boîte à chaussure en intégrant différents procédés et matériaux à deux et à trois dimensions, comme par exemple des photographies, des objets trouvés, des formes sculptées, modelées ou peintes que l'on arrange à l'intérieur de la boîte à chaussure.
  • Créer un collage Néo-Dada à partir de différentes images coupées dans des revues, journaux, photocopies ou photographies d'archives. Les assembler en les coupant et les collant attentivement.
  • Créer une narration bizarre d'une expérience ou d'une observation. Écrire une histoire d'un événement ou d'une expérience réelle. Ensuite écrire une histoire relatant un rêve qui a semblé bizarre ou surréel. Illustrer les histoires en utilisant un médium de son choix (se référer à Le livre des images, Éditions Atlas, 1984, page 60).
  • Créer un portrait surréaliste. Se procurer une tête en mousse de polystyrène et la transformer en y ajoutant du tissu, du cuir, des boutons, de la corde, des gadgets mécaniques, des bouchons de bouteilles, de la laine, de la peinture, etc.
  • Créer un monument surréaliste. Inventer un événement surréel qui rivaliserait le livre des records ou utiliser le livre des records comme source d'idées et créer un trophée, une médaille ou une bannière en reconnaissance de l'acte de bravoure.
  • Explorer le procédé de photocopie couleur comme moyen d'expression artistique. La photocopie couleur est un procédé d'impression à partir de trois couleurs (le jaune, le bleu, le rouge). L'avantage de ce procédé est qu'on peut changer facilement la couleur désirée. On peut également faire une impression en noir et blanc. D'abord faire un collage avec un choix d'images coupées dans des revues et des affiches. Arranger et coller les images sur une feuille de papier construction. Ajouter les éléments de dessin. Utiliser la photocopieuse couleur pour faire des impressions avec le collage.
  • Créer une illusion d'optique en combinant le graphisme, le mouvement et la lumière stroboscopique. Découper dans du carton rigide un cercle de 30 cm. Dessiner une série de cercles concentriques de 2,5 à 5 cm de distance. Utiliser de la peinture acrylique pour créer la composition à l'intérieur des segments du disque. Monter le disque sur une transmission d'un petit moteur et le fixer à une table. Utiliser un interrupteur à gradation de lumière pour contrôler la vitesse du moteur. Illuminer le disque à l'aide d'une lampe stroboscopique. Vous noterez que les formes à l'intérieur des cercles concentriques apparaîtront simultanément selon les différentes vitesses.
• Faire l'intégration avec d'autres domaines d'études:
  • faire un résumé chronologique de la vie d'Escher;
  • situer Escher dans l'histoire: quelles autres personnes célèbres ont vécu au temps d'Escher, que s'est-il passé d'important dans l'histoire du monde, du Canada pendant la vie d'Escher;
  • Escher avait beaucoup de difficultés en mathématiques à l'école, pourtant ces oeuvres contiennent beaucoup de mathématiques. Comment cela se peut-il? Demander aux élèves d'écrire à ce propos. Un autre personnage célèbre ayant des difficultés en mathématiques était Albert Einstein;
  • Qu'est-ce que les mathématiques donc?
  • Pourquoi penses-tu qu'on appelle Escher le poète de l'impossible?
• Demander aux élèves de faire des recherches pour trouver des oeuvres d'art de différentes cultures qui montrent des tessellations ou des symétries, etc.
• On peut faire l'étude des illusions optiques.