D'où provient la valeur e ( 2,7....) des logarithmes népériens ?

Bonjour Louise,

Il y a plusieurs facons de calculer e:

1. e est la valeur telle que la region bornee par l'hyperbole y = 1/x et les droites y = 0, x = 1 et x = e a une aire egale a 1.

2. e est la valeur limite de (1 + 1/n)^n lorsque n tend vers l'infini (la convergence est tres lente).

3. e = 2 + 1/2 + 1/(2*3) + 1/(2*3*4) + 1/(2*3*4*5) + ... (la convergence est tres rapide).

   La verification du fait que ces trois facons donnent la meme valeur de e est du ressort du calcul differentiel et de l'analyse moderne. Il y a un bon texte sur l'histoire de John Napier (Neper) et la decouverte des logarithmes et de la regle a calcul au site http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Napier.html. L'extrait suivant en presente la conception originale:

   Consider two lines AB of fixed length and A'X of infinite length. Points C and C' begin moving simultaneously to the right, starting at A and A' respectively with the same initial velocity; C' moves with uniform velocity and C with a velocity which is equal to the distance CB. Napier defined A'C' (= y) as the logarithm of BC (= x), that is y = Nap.log x.

   Donc en gros, la definition originale du logarithme est ce qu'on appelle en language moderne une equation differentielle. Mais ce logarithme Neperien original etait "en base 1/e" plutot qu'"en base e".

   On lit au site http://members.aol.com/jeff570/constants.html que Edward Wright a introduit la notation e pour 2,71828... dans sa traduction anglaise des travaux de Neper. Leibniz utilisait b.

   Bonne chance,
   Claude

   La Centrale des maths