UN GRAND MERCI D'AVANCE

Un touriste revient de vacnces avec 15 films:

• 2 films de photos d 'Italie
• 8 films de photos de Grèce
• 5 films de photos de Turquie.

1. Combien y a t il de choix différents possibles de 11 films parmi les 15?
2. Quelle est la probabilité que , parmi les 11 films développés, il y ait:
   • Tous les films sur la Grèce? (évènement A)
   • Aucun film sur l 'Italie? (évènement B)
   • Autant de films sur la Grèce que sur la Turquie? (évènement C)
   • Deux fois plus de films sur la Turquie que sur l ' Iatlie? (évènement C)
3. Le photographe, d 'origine italienne, propose son client de lui faire cadeau du développement des films sur l 'Italie, s'il en trouve parmi les 11 films. On appelle X la variable aléatoire "nombre de films sur l'Italie développés". Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique.

Bonjour

1. les combinaisons de 11 parmi 15: (15*14*13*12)/(4*3*2*1) (c'est un nombre entier: 1365).

2. pour les probabilites, on calcule le nombre d'evenements favorables, puis on divise par le nombre d'evenements possibles, soit 1365 tel que calcule ci haut. Tout le defi du probleme reside dans le calcul du nombre d'evenements favorables.
   • Si on selectionne les 8 films sur la Grece, il reste 3 films a selectionner parmi les 7 qui restent, ce qui peut se faire de (7*6*5)/(3*2*1) = 35 facons, donc la probabilite de A est 35/1365.

   • Il faut alors selectionner les 11 films parmi les 13 qui ne portent pas sur l'italie, ce qui peut se faire de (13*12)/(2*1) = 78 facons, donc la probabilite de A est 35/1365.

   • A priori, ce genre de question peut etre tres difficile, mais ici les donnees precises du probleme nous aident: Puisque 11 est un nombre impair, il faut retrancher un seul film italien pour que le reste soit pair et puisse etre partage en autant de films grecs que de films turcs. On a deux choix pour le film italien, 5 choix parmi 8 pour les films grecs et 1 seul choix pour les films turcs (soit tous les prendre), donc le nombre d'evenements favorable est 2 * (8*7*6)/(3*2*1) * 1 = 112 et la probabilite de C est 112/1365.

   • Deux possibilites:
     1 film italien, 2 films turcs, 8 films grecs: 1*(5*4)/(2*1)*1 = 10 facons
     2 films italiens, 4 films turcs, 5 films grecs:
     1 * 5 * (8*7*6)/(3*2*1) = 280 facons donc en tout 290 evenements favorables, et la probabilite de D(?) est 290/1365
3. X peut prendre les valeurs 0, 1, 2.

   P(X = 0) = [(13*12)/(2*1)]/1365 = 78/1365
   P(X = 1) = [2*(13*12*11)/(3*2*1)]/1365 = 572/1365
   P(X = 2) = [(13*12*11*10)/(4*3*2*1)]/1365 = 715/1365

   E(X)
   = 0*P(X=0) + 1*P(X=1) + 2*P(X=2)
   = 0 + 572/1365 + 1430/1365
   = 2002/1365 ( = 1.4667)

Bonne chance,
Claude