YES. The four point sets coincide. For your point sets P1, P2, and P4, see the picture after formula (4) on the mathworld rhombic triacontahedron page

http://mathworld.wolfram.com/RhombicTriacontahedron.html.

You can clearly see the relationship between the vertices and face centres of the rhombic triacontahedron on the one hand, and the corresponding parts of the Platonic solids on the other.

For your P3, Wikipedia shows the projection of the vertices of your disdyakis dodecahedron onto a sphere

http://en.wikipedia.org/wiki/Disdyakis_triacontahedron.

But the points where 10 of the resulting 120 triangles come together are the projections of the face centres of a dodecahedron, the points where 6 triangles come together are the vertices of the dodecahedron,
and the points where 4 triangles come together are the midpoints of the edges of the dodecahedron.

Chris

Traduction française:

OUI, les quatre polyèdres sont le même. Pour P1, P2, P4, on peut se référer à la figure après la formule (4) sur la page mathworld du triacontaèdre rhombique

http://mathworld.wolfram.com/RhombicTriacontahedron.html.

On y voit clairement la relation entre les sommets et faces du triacontaèdre rhombique d'une part, et les parties correspondantes des solides Platoniques d'autre part.

Pour P3, Wikipedia montre la projection des sommets du disdyakis-triacontaèdre sur une sphère

http://en.wikipedia.org/wiki/Disdyakis_triacontahedron
(en français: hexaki icosaèdre, voir
http://fr.wikipedia.org/wiki/Hexaki_icosa%C3%A8dre).

Mais les points où 10 des 120 triangles se joignent sont les projections
des centres de faces d'un dodécaèdre, les points où 6 des triangles
se joignent sont les sommets d'un dodécaèdre, et les points où 4 triangles
se joignent sont les millieux des arêtes d'un dodécaèdre.

L'egalité des polyèdres premiers est illustrée par le tesselation du sphère par les domains du reflection du groupe des symmetries icosi-dodécaèdrales. (C'est aussi le disdyakis-triacontaèdre spherique.)

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Icosahedral_reflection_domains.png

On peut voir dans cette figure tous les faces, des sommets, et des arêtes de ces quatres projections a la même fois.

Bonne chasse!
RD