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| Centrale des maths | Dilemmes & doutes |
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Question de Paul, un(e) enseignant(e) : Bonjour, Parmi tous les polyèdres dont les sommets sont sur une sphère et dont les faces sont isométriques (pas nécessairement régulières, ni nécessairement triangulaires), "(2,3,5)" (voir définition ci-après) est-il celui qui présente le plus grand rapport entre les rayons des sphères inscrite et circonscrite? "(2,3,5)" désigne le polyèdre (de centre O) dont les faces sont des triangles isométriques tel que: |
Paul,
Il me semble qu'un rapport aussi grand qu'on veut puisse être atteint:
Il suffit d'inscrire dans une sphère un tétraèdre dont deux arêtes opposées mesurent epsilon (aussi petit qu'on veut) et dont les autres arêtes mesurent 1.
Claude
Bonjour Claude Tardif,
Merci pour votre mail,
mais il me semble que vous ne répondez pas à ma question:je souhaite savoir si le "2,3,5"réalise le plus grand rapport possible entre le rayon de la sphère inscrite et celui de la sphère circonscrite tandis que vous me prouvez que ce rapport peut être aussi petit que l'on veut. Pardon si j'avais mal exprimé ma question. Dans l'attente de votre prochaine réponse, je vous remercie sincèrement,vous et votre équipe.
Paul
Paul,
En effet, j'avais mal compris. Suite à une conversation avec Chris Fisher, Robert Dawson a fait parvenir la réponse suivante.
Réponse de Robert Dawson:
Oui, je pense que le "(2,3,5)" donne le plus grand rapport entre les rayons des deux sphères. Il y a des polyèdres isoédraux dont les faces ne sont pas triangulaires, mais pour la plupart ils ne sont pas cycliques
(donc pas inscriptibles dans une sphère.) Et le (2,3,5) minimise le rayon du cercle circonscrit pour les faces triangulaires des polyèdres isoédraux.
Claude
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