Bonjour ve.lu.ch

la valeur de 4/3 × π est une constante de proportionnalité qui peut être calculée de plusieurs facons.

Tu sais probablement que la circonférence est proportionnelle au rayon avec une constante de proportionalité de 2 × π (car circonférence = 2 × π × rayon).
Ou encore l'aire d'un disque est directement proportionnel au carré de son rayon (aire = 2 × π × rayon²)
L'important est de bien se convaincre de ces faits, et le calcul de la constante est déduite après certains calculs.

(La façon que je connais utilise les intégrales définies et les coordonnées sphériques, et je vais omettre ici de donner la preuve..)

En espérant t'avoir éclairer sur le sujet, je te souhaite un bon travail!
Pierre-Louis Gagnon

Pour voir comment Archimède a trouvé le 4/3, mieux vaut couper la boule
en deux. La demi-boule a pour volume

2/3 x Pi x R au cube. Pourquoi?

Plaçons, comme l'a fait Archimède, un cylindre de hauteur R et de rayon R sur la boule (moitié du haut de l'image). Considérons les tranches horizontales de cette superposition: À hauteur h, la tranche de boule est un disque de rayon racine de (R carré - h carré), donc d'aire Pi x (R carré - h carré). Puisque la tranche de cylindre est elle-même un disque de rayon R et d'aire Pi x R carré, l'aire qui reste dans le cylindre mais pas dans la boule est Pi x h carré.

Considérons maintenant un cône dont la base est le disque au haut du cylindre, et le sommet au centre de la boule. À hauteur h, la tranche de cône est un disque de rayon h, et d'aire Pi x h carré. C'est la même aire que l'aire qui reste dans le cylindre mais pas dans la boule à hauteur h. D'où l'observation géniale d'Archimède:

cylindre - demi boule = cône,
donc
cylindre - cône = demi boule.

On connait le volume du cylindre: aire de la base x hauteur, soit Pi x R carré x R = Pi x R cube. Depuis les anciens Égyptiens, on connait aussi le volume d'un cône: (1/3) x aire de la base x hauteur = 1/3 x Pi x R cube. Par conséquent la demi boule a pour volume 2/3 x Pi x R cube.

http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Tomb/sphere_cylinder_big.jpg

Claude