Salut,

si tu prends pour acquis l'intégration en coordonnées sphériques, le résultat découle facilement en intégrant.

int(int(int(ρ²*sin(phi), ρ = 0..r), φ = 0..π), θ = 0..2*π)
= int(int((r³)/3*sin(phi), φ = 0..π),θ = 0..2*π)
= int(int((r³)/3*(-cos(Pi)+cos(0), θ = 0..2*π)
= int(int((r³)/3*(-cos(Pi)+cos(0), θ = 0..2*π)
= int(int((r³)/3*(1+1), θ = 0..2*π)
= int(2*(r³)/3, θ = 0..2*π)
= (2*Pi-0)*2*(r³)/3
= 4*Pi*r³/3

Outre cette démonstration, on peut voir que le volume est directement proportionnel au cube, ce qui est intuitif, étant donnée qu'on calcule le volume en fonction du rayon.

Si tu veux en savoir plus sur les coordonnées spériques, tu peux visiter:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn%C3%A9es_sph%C3%A9riques

PLG