bonjour un petit problème qui m'a l'air bien compliqué et je n'est pour le moment aucune pistes pour demarré un carré de coté 1 est divisé en 9 carrés identiques et le carré central est colorié chacun des 8 carré qui restent est à son tour divisé et colorié suivant le meme procédé et on continue indéfiniment quelle est la limite de l'aire du domaine colorié?
merci d'avance et
bon courage
rita
Bonjour Rita,
Il y a deux façons de procéder; dans les deux cas on trouve une réponse étonnante.
Première façon: Soit N(k), l'aire de la surface qui est coloriée à la k-ième étape:
N(1) = 1/9 parce
qu'on colorie alors le carré central de côté 1/3
N(2) = (8/9) 
(1/9), parce
qu'on colorie 8 carrés autour de celui
colorié à la première étape, et chacun
a un côté 3 fois plus petit, donc une aire 9
fois plus petite.
...
En général, N(k+1) = (8/9) N(k),
puisqu'à la (k+1)-ième étape,
on colorie 8 carrés autour de cchacun qu'on a colorié à la
k-ième étape
et chacun a un côté 3 fois plus petit, donc une aire 9
fois plus petite.
L'aire totale de la surface coloriée est
A = N(1) + N(2) + N(3) + ... = 1/9 + (8/9) (1/9)
+ (8/9) (8/9) (1/9)
+ ...
Il suffit de trouver la somme de cette série géométrique pour déterminer A.
Deuxième façon: Supposons qu'on a colorié en blanc sur fond bleu. La surface totale coloriée ressemble à un flocon carré; le petit carré central est tout blanc, et les 8 carrés autour sont granuleux et identiques. En réduisant l'image au tiers de sa grandeur, on réduit l'aire au neuvième (puisqu'on a réduit la longueur et la hauteur), et on obtient une copie des 8 carrés du contour.
Ainsi, la surface coloriée consiste en 8 copies
d'elle-même
réduite au tiers (d'aire réduite au neuvième) et
d'un carré central
blanc d'aire 1/9. L'aire A de la surface satisfait donc l'équation
A = (8/9) A + (1/9), qu'il
suffit de résoudre pour trouver A.
Claude