Bonjour, je me m’appelle Jean-Sébastien et je suis étudiant en secondaire 4. Je me demandais s’il est possible de développer le terme (x+y)n, lorsque n est un entier positif. Il est évident que xn+yn fera partie de la réponse mais comment définir le reste (Z dans l’exemple ci-dessous)?
(x+y)2 = x2+y2+2xy
(x+y)n = xn+yn+ Z
P.S. : Une preuve mathématique démontrant la possibilité ou l’impossibilité du problème serait grandement appréciée, merci.
Bonjour Jean,
(x + y)2 = x2 + 2x1y1 + y2
(x + y)3 = x3 + 3x2y1 + 3x1y2 + y3
(x + y)4 = x4 + 4x3y1 + 6x2y2 + 4x1y3 + y4
...
En general, le developpment de (x + y)n commence par xn et de gauche a droite l'exposant de x descend de 1 a chaque terme alors que l'exposant de y augmente de 1, jusqu'au dernier terme yn. La suite des coefficients est donnee par la n-ieme ligne du triangle de Pascal:
0: 1
1: 1 1
2: 1 2 1
3: 1 3 3 1
4: 1 4 6 4 1
5: 1 5 10 10 5 1
6: 1 6 15 21 15 6 1
...
Ou le premier terme de chaque ligne est 1, et chaque terme successif est obtenu comme la somme du terme juste au dessus et du terme juste au dessus a gauche.
Par exemple, si on sait que (x + y)3 = x3 + 3x2y1 + 3x1y2 + y3, on peut calculer (x + y)4 en le developpant comme suit:
(x + y)4 = (x+y)(x+y)3 = (x+y)(x3 + 3x2y1 + 3x1y2 + y3)
= x(x3 + 3x2y1 + 3x1y2 + y3) + y(x3 + 3x2y1 + 3x1y2 + y3)
= (x4 + 3x3y1 + 3x2y2 + x1y3) + (x3y1 + 3x2y2 + 3x1y3 + y4).
En regroupant les termes semblables, on remarque que le calcul des coefficients est exactement le meme que celui qui donne les lignes successives du triangle de Pascal.
Incidemment, si on note
n: a0, a1, ..., an
la n-ieme ligne du triangle de Pascal, on obtient
ak =
= [n(n-1)(n-2)...(n-k+1)]/[k(k-1)(k-2)...1].
Ce nombre est le nombre de combinaisons de k dans n, c'est a dire le nombre de facons de choisir un comite de k personnes dans n. Ainsi, le developpement de (x + y)n est donne par la formule du binome de Newton:
(x + y)n =
et ce developpement s'explique de facon combinatoire:
(x + y)n = (x+y)(x+y)(x+y) ... (x+y),
et pour trouver un terme de la forme xkyn-k,
il faut multiplier ensemble les x issus de k parentheses (et les y
issus des n-k autres), et il y a facons
de choisir k parentheses ou on prendra le x.
Claude