Mon nom est Jean-Jacques
Je suis à la retraite et en train de mettre à jour mes connaissances en trigonométrie.
On peut facilement trouver les rapports entre les côtés d'un triangle droit ayant des angles secondaires de 30, 45 et 60 degrés, mais comment s'y prend-on pour calculer les rapports entre les côtés d'un triangle droit ayant des angles secondaires de valeurs intermdiaires. En d'autre mot, comment s'y prend-on pour faire le calcul détaillé des tables trigonométriques.
J'ai cherché en vain dans divers textes de géométrie la réponse à cette question. Merci à l'avance pour l'attention que vous porterez à ma requête.
Jean-Jacques
Bonjour Jean-Jacques
Si on connait les opérations de base (l'addition, la multiplication, la soustraction et la division), on peut évaluer les fonctions trigonométriques à l'aide de leurs séries de Taylor:
sin(x) = x - x3/(3
2) + x5/(5432) - x7/(765432) + ....
cos(x) = 1 - x2/2 + x4/(432) - x6/(65432) + x8/(8765432) - ...
Ici, x est un angle en radians. Pour un angle de 20 degrés par exemple,
je commence par le convertir en radians en multipliant par 2
et en divisant
par 360, ce qui donne (approximativement) x = 2023.14159/360 = 0.34907.
Pour calculer sin(x), je construit une table des approximations successives
et des termes à ajouter ou soustraire pour obtenir la prochaine approximation.
(Il est bon de garder x2 = 0.12185 en mémoire car on doit s'en servir souvent.)
| Approximation | Terme |
|---|---|
| 0.34907 | 0.34907 0.12185/(32) = 0.00709 |
| 0.34907 - 0.00709 = 0.34198 | 0.00709 0.12185/(54) = 0.00004 |
| 0.34198 + 0.00004 = 0.34202 | ..... |
et ainsi de suite. On obtient donc une valeur approximative de 0.34202 pour le
sinus d'un angle de 20 degrés. Ici il est inutile de poursuivre le calcul au delà puisqu'on a une approximation de à cinq décimales seulement. Cependant avec une meilleure approximation de on pourrait théoriquement obtenir une approximation des fonctions trigonométriques aussi précise qu'on veut.
C'est ainsi que les anciennes tables de fonctions trigonométriques étaient compilées, ainsi que plusieurs autres tables. Avec le développement de la science et de la navigation, les besoins en toutes sortes de tables de plus en plus précises se multipliaient. Ces tables étaient compilées à la main avec des calculs arithmétiques comme ci-haut. Le problème c'est que l'être humain fait naturellement beaucoup d'erreurs en calculant. Certaines tables étaient truffées d'erreurs. Plusieurs des scientifiques qui avaient à se plaindre de ces tables avaient remarqué l'aspect mécanique du calcul arithmétique, et s'étaient demandés si une machine ne serait pas plus apte à faire ces calculs. Ainsi, l'ordinateur moderne est l'aboutissement d'une très longue période de frustrations et de méditations au sujet de l'arithmétique.
Claude