On sait que le corps des nombres algebriques sur Q est algebriquement clos. A priori partant d'un polynome f a coefficients algebriques sur Q on devrait pouvoir un trouver un polynome g a coefficients rationnels dont une partie des racines est constituee de racines du premier. y-at-il un algorithme qui permet qui permet le passage de f a g ?
Merci



Bonjour,

Notre expert en algèbre donne ceci:

g = produit de tous les alpha(f), alpha element du groupe de Galois de f. Ce qui transpose la question: Existe-t-il un algorithme pour calculer ce groupe de Galois? Notre expert en algèbre applique intelligemment une série de techniques. Quant à savoir si ces techniques peuvent être mécanisées suffisamment pour être appelées "algorithme" c'est une autre question. Dans MathSciNet, on retrouve quelque références sur ce sujet:

Landau, Susan Polynomial time algorithms for Galois groups. EUROSAM 84 (Cambridge, 1984), 225--236, Lecture Notes in Comput. Sci., 174, Springer, Berlin, 1984.

Kolesova, G.; McKay, J. Practical strategies for computing Galois groups. Computational group theory (Durham, 1982), 297--299, Academic Press, London, 1984.

Soicher, L. H. An algorithm for computing Galois groups. Computational group theory (Durham, 1982), 291--296, Academic Press, London, 1984.

et dans Maple, il y a une fonction qui donne le groupe de Galois d'un polynome de degré au plus 8. Je ne sais pas si il y a un algorithme tout a fait général.

Claude
La Centrale des maths