Bonjour.

Je voudrait montrer qu'il n'existe pas de fonction de R--->R tels que ses points de discontinuités est les irrationnelles, en utilisant la methode de "baire".

Nous savons que les points de discontinuitées est une union dénombrable d'ensembles fermés.

Merci

En anglais

Hi.

I need your help about a question in topology.

I want to show there existe no fonction f from R in R where the fonction is no continues on the irrationnels ( R\Q ) whit the "baire" method.

We know that the point where f is not continues is a infinite union of closed sets.

Thank for your help

Il suffit donc de démontrer que R-Q n'est pas une union dénombrable d'ensembles fermés. Supposons, pour contradiction, qu'il existe une suite F₁, F₂, ... de fermés dont l'union est R-Q. On construit récursivement une suite I₁, I₂, ... d'intervalles fermés emboités tels que I_n est disjoint de F₁, ..., F_n et ne contient aucune fraction dont le dénominateur est inférieur ou égal à n.

En particulier, Pour I₁ on peut prendre n'importe quel intervalle fermé, centré en 1/2, de longueur l₁ telle que 0 < l₁ < 1, et disjoint de F₁. Un tel intervalle existe puisque F₁ est un fermé ne contenant pas 1/2.

Supposons I₁, ..., I_n-1 déjà construits. Alors l'intérieur de I_n-1 contient un rationnel p dont le dénominateur est supérieur à n. On peut alors trouver un intervalle fermé I_n centré en p tel que

1. I_n est inclus dans I_n-1,
   
   
2. I_n est disjoint de F_n (puisque F_n est un fermé ne contenant pas p)
   
   
3. I_n ne contient aucune fraction dont le dénominateur est au plus n (l'ensemble des valeurs de I_n-1 à éviter est fini).

Ceci nous nonne récursivement une suite d'intervalles emboités I₁, I₂, ... Le nombre x appartenant à l'intersection de ces intervalles est forcément irrationnel, puisqu'aucun dénominateur n'est admissible pour côté, puisque x est dans I_n pour tout n, x n'appartient à aucun des ensembles F_n, ce qui contredit l'hypothèse selon laquelle l'union des F_n est R-Q.

Il existes plusieurs démonstrations, souvent plus générales, dans plusieurs livres de topologie.