Bonjour

Ce problème mathématique traite, dans la pratique, de la formulation alimentaire:

soient les aliments A1, A2, A3.....An contenant respectivement le nutriment "a" aux quantités a1, a2, a3, et an sachant qu'un organisme a besoin d'une quantité connue de nutriment "a" égale à "Be",

Ayant: A1.a1 + A2.a2 +.....+ An.an = 100.Be

et

A1 + A2 + A3 +....+ An = 100

Quelles seront les quantités d'aliments A1, A2, et An qui satisferont le besoin défini "Be" de l'organisme?

Dans l'attente d'une solution ou du moins d'un éclaircissement pour la résolution de ce problème, je vous remercie vivement.

Benhacine

En general, il y a plusieurs solutions: Notant que la deuxième équation peut s'écrire

on peut faire la substitution dans la première équation:

On peut donc choisir A2, A3, ..., A(n-1) comme on veut, et ensuite fixer An pour que l'équation (2) soit valide. L'équation (1) détermine alors A1.

Le problème avec cette approche, c'est que les solutions générées peuvent avoir des valeurs négatives, ce qui n'est pas réaliste. En fait l'ensemble des solutions qui vous intéressent constitue un polyèdre convexe dans un espace \`a n dimensions. Pour le caractériser complètement, il faudrait faire la liste de ses points extrémaux, ce qui peut être très long.

Une façon d'engendrer ces points extrémaux, c'est d'utiliser un outil de programmation linéaire. Il y en a un disponible au site . Il suffit d'y entrer vos contraintes sous formes d'inégalités, précedés de l'instruction de maximiser une fonctionelle linéaire quelquonque, par exemple avec a1= 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4 et Be = 3, on obtient (posant A1 = A, A2 = B, A3 = C, A4 = D)

Maximize p = 2A + 3B + 1C + 1D subject to

et on obtient la solution A = 0, B = 50, C = 0 et D = 50, ce qui est un régime acceptable. On peut changer l'objectif à volonté. Par exemple

Maximize p = 4A + 2B + 1C + 1D subject to

donne la solution A = 100/3, B = 0, C = 0, D = 200/3, ce qui est encore acceptable. Avec ces solutions on peut en former d'autres par combinaisons convexes: Le quart de la première solution plus les trois quarts de la deuxième vous donne la nouvelle solution acceptable

A = 25, B = 12.5, C = 0, D = 62.5.

Ainsi vous pouvez engendrer plusieurs solutions et choisir la combinaison que vous préférez.