| |
Sender: CYRIL
Subject: recherhce sur pi et exponentielle
bonjour
étudiant a la fac de sciences de montpellier
je cherche des informations concernant la demonstration suivante:
"comment prouver que pi et exponentielle sont irrationnels?"
merci d'avance
Bonjour Cyril,
La definition de e est
1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + ...
(où n! = n(n-1)(n-2)...2.1)
Supposons que e est rationnel, e = A/B.
(On peut alors supposer que B est au moins 3.)
Alors B![ e - (1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/B!)]
est un nombre entier, puisque B! est un multiple du dénominateur
de chacun des termes.
Par contre,
B![ e - (1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/B!)]
= 1/(B+1) + 1/(B+1)(B+2) + 1/(B+1)(B+2)(B+3) + ...
on peut majorer cette série terme à terme par la série
géométrique
1/B + 1/B2 + 1/B2 + ...
qui converge vers 1/(B-1). C'est une contradiction:
B![ e - (1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/B!)] est un entier
positif inférieur à 1. Donc l'hypothèse que
e est rationnel est intenable; e est irrationnel.
Au sujet de l'irrationnalité de pi, la preuve est moins
directe, mais il existe plusieurs démonstrations
basées sur le calcul différentiel. En particulier,
celle donnée dans
Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. Proofs from The Book.
Springer-Verlag, Berlin, 1999. viii+199 pp.
est très jolie.
Bonne chance,
Claude
La Centrale des maths
|
|