Sender: CYRIL

Subject: recherhce sur pi et exponentielle

bonjour
étudiant a la fac de sciences de montpellier je cherche des informations concernant la demonstration suivante: "comment prouver que pi et exponentielle sont irrationnels?"

merci d'avance

Bonjour Cyril,

La definition de e est

1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + 1/6! + ... (où n! = n(n-1)(n-2)...2.1)

Supposons que e est rationnel, e = A/B.
(On peut alors supposer que B est au moins 3.)
Alors B![ e - (1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/B!)] est un nombre entier, puisque B! est un multiple du dénominateur de chacun des termes.

Par contre,

B![ e - (1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/B!)]
= 1/(B+1) + 1/(B+1)(B+2) + 1/(B+1)(B+2)(B+3) + ...
on peut majorer cette série terme à terme par la série géométrique 1/B + 1/B2 + 1/B2 + ...

qui converge vers 1/(B-1). C'est une contradiction:

B![ e - (1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/B!)] est un entier positif inférieur à 1. Donc l'hypothèse que e est rationnel est intenable; e est irrationnel.

Au sujet de l'irrationnalité de pi, la preuve est moins directe, mais il existe plusieurs démonstrations basées sur le calcul différentiel. En particulier, celle donnée dans

Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. Proofs from The Book. Springer-Verlag, Berlin, 1999. viii+199 pp.

est très jolie.

Bonne chance,
Claude
La Centrale des maths